因子投资-02-风险波动率协方差与相关性

QUANT RESEARCH NOTE / LESSON 02

两只股票都可能平均赚 5%，但一只每次上下剧烈波动，另一只较平稳；它们显然不是同一种投资。更重要的是，组合风险不只由每只股票自身波动决定，还取决于它们是否同时涨跌。本讲从两个经济状态手算期望、方差、协方差和相关系数。

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本节解决什么问题

两只股票都可能平均赚 5%，但一只每次上下剧烈波动，另一只较平稳；它们显然不是同一种投资。更重要的是，组合风险不只由每只股票自身波动决定，还取决于它们是否同时涨跌。本讲从两个经济状态手算期望、方差、协方差和相关系数。

前置知识与学习目标

前置知识是第 01 讲的简单收益和百分比。学完后你应该能：

• 从离散状态计算期望、方差和标准差；
• 解释协方差与相关系数的区别；
• 用协方差矩阵计算组合风险；
• 说明相关不等于因果、波动不等于全部风险；
• 判断何时可以近似做平方根年化。

直觉与手算

假设未来只有繁荣和衰退两种状态，各有 50% 概率。股票 A 在两种状态的收益分别为 20%、-10%；股票 B 分别为 -5%、15%。

两只股票的期望收益都为 5%：

$$E[R_A]=0.5\times20\%+0.5\times(-10\%)=5\%$$

A 相对均值的偏差是 +15%、-15%，所以方差是 0.5×0.15²+0.5×(-0.15)²=0.0225，标准差为 15%。B 的偏差是 -10%、+10%，方差为 0.01，标准差为 10%。

两者在每个状态的偏差乘积都是 -0.015，因此协方差为 -0.015。除以 0.15×0.10 后，相关系数为 -1：它们在这个两状态模型里完全反向。

若各投一半，组合在繁荣和衰退的收益分别为 7.5% 与 2.5%，期望仍是 5%，标准差却只有 2.5%。分散化不是因为持有数量变多，而是因为不同资产的共同变化不完全一致。

定义与公式

期望、方差与标准差

离散状态 s 的概率为 p(s)，收益为 R(s)：

$$E[R]=\sum_s p_sR_s$$ $$Var(R)=\sum_s p_s(R_s-E[R])^2$$ $$\sigma=\sqrt{Var(R)}$$

收益与标准差单位相同，方差单位是收益率平方。期望描述分布中心，标准差描述围绕中心的总离散程度；它不区分上涨和下跌。

协方差与相关系数

$$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$ $$\rho_{XY}=Cov(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$$

协方差保留两者尺度，相关系数消除尺度并限制在 -1 到 1。若某变量标准差为零，相关系数没有定义。相关为零只表示无线性共同变化，并不保证独立。

组合风险

两资产权重分别为 w 与 1-w：

$$\sigma_p^2=w^2\sigma_A^2+(1-w)^2\sigma_B^2 +2w(1-w)Cov(A,B)$$

一般 N 资产写成：

$$\sigma_p^2=w^{\prime}\Sigma w$$

w 是 N×1 权重，Σ 是 N×N 协方差矩阵。对角线是各资产方差，非对角线是两两协方差。分散化效果来自非对角线，而不只是资产数量。

下行风险

如果投资者只关心低于目标 MAR 的结果，可定义下行偏差：

$$DD=\sqrt{E[\min(R-MAR,0)^2]}$$

目标可以是零、无风险收益或负债要求。下行风险更贴近“坏波动”，但结果依赖目标选择，且仍不能完整描述尾部、流动性和永久损失。

Python 最小实验

PYTHON 可复现实验

import numpy as np

prob = np.array([0.5, 0.5])
a = np.array([0.20, -0.10])
b = np.array([-0.05, 0.15])

mean_a = prob @ a
mean_b = prob @ b
var_a = prob @ (a - mean_a) ** 2
var_b = prob @ (b - mean_b) ** 2
cov_ab = prob @ ((a - mean_a) * (b - mean_b))
corr_ab = cov_ab / np.sqrt(var_a * var_b)

portfolio = 0.5 * a + 0.5 * b
mean_p = prob @ portfolio
std_p = np.sqrt(prob @ (portfolio - mean_p) ** 2)

assert np.isclose(corr_ab, -1.0)
assert np.isclose(std_p, 0.025)
print(mean_a, np.sqrt(var_a), mean_b, np.sqrt(var_b), std_p)

代码使用的是已知状态概率，因此除以概率总和；从历史样本估计方差时，常使用 T-1 分母修正自由度。这两种对象不要混写。

A 股实现注意事项

1. 日收益不是独立同分布。 涨跌停、停牌、波动聚集和政策事件会造成自相关与条件波动变化；日波动乘根号 252 只是近似。
2. 停牌与零收益。 向前填价得到的零收益会机械压低波动率，但复牌跳跃和无法交易的风险仍存在。应同时报告停牌比例和可成交口径。
3. 涨跌停截断。 日收益被制度上限截断不等于真实经济价值只变化到该幅度，连续封板还会把调整分散到多日。
4. 协方差估计。 股票多、历史窗口短时，样本协方差矩阵噪声大、甚至不可逆；组合优化通常需要收缩、因子风险模型或更长但不过时的窗口。
5. 不同交易历史。 新股、退市股和长期停牌使收益面板不齐。用成对可得样本估协方差可能得到非半正定矩阵，必须检查特征值和统一样本规则。
6. 相关结构会变。 市场压力期资产相关性常上升，平静期估出的分散化不能当作危机期保证。

常见错误与边界

• 把方差与标准差混用：0.04 的方差对应 20% 标准差，不是 4%。
• 用价格水平计算相关性，得到共同趋势；资产研究通常关注同频收益相关。
• 看到相关为 0.8 就宣称 A 导致 B。共同市场暴露、行业或宏观变量都可能解释相关。
• 只按个股波动率选“低风险”组合，忽略高正相关使组合风险集中。
• 用全样本协方差优化历史每个时点，泄露未来相关结构。
• 把低波动等同于安全。负债、流动性、跳跃、信用和永久资本损失可能不体现在日标准差中。

标准差对厚尾和异常值很敏感，但这不是删除极端日的理由。极端收益可能是风险最重要的部分；应该核验数据错误，并并列报告分位数、最大损失、回撤和压力情景。

原书与论文

原书第 1 章（PDF 文件页 7–26）讨论风险收益权衡，第 2 章（27–96）进入模型和实证方法。本讲补足组合风险所需的概率语言。

经典起点是 Harry Markowitz（1952）Portfolio Selection，论文把组合选择明确写成期望与方差问题：DOI 10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x。阅读时重点问：方差是投资者真正关心的风险，还是一个可计算的代理？

练习

1. 资产 C 在两状态收益为 30%、-20%，概率仍各半。计算期望、方差和标准差。
2. A 与另一资产 D 的收益分别为 20%、-10% 和 5%、5%。D 的标准差为零，为什么相关系数无定义？它还能分散风险吗？
3. 两资产标准差均为 20%、权重各半，分别在相关系数 1、0、-1 下计算组合标准差。
4. 使用一个月 A 股日收益，比较“停牌日缺失”“停牌日填零”两种口径的波动率，并解释哪个数字适合估值、哪个不能代表可交易风险。

校验：第 3 题组合标准差依次为 20%、约 14.14%、0%。最后一种结果依赖参数完全稳定，现实中几乎不会永久成立。

小结与下一步

期望告诉我们平均方向，方差和标准差描述总离散，协方差决定资产如何共同变化，相关系数提供无尺度比较。组合风险是权重与整个协方差矩阵的函数；分散化的前提是共同变化不完全一致。

这些都是总体概念，但现实中我们只能看到有限样本。下一讲将讨论样本如何产生估计不确定性，以及显著性检验为什么很容易被误读。