因子投资-01-收益率复利与超额收益

QUANT RESEARCH NOTE LESSON 01

价格从 10 元涨到 11 元，与从 100 元涨到 101 元，谁表现更好？只比较价格变化额没有意义；我们需要把不同价格、不同期限、不同现金分配转成同一尺度。收益率就是量化投资的第一种语言，后面的波动率、回归、因子收益和组合净值都建立在它上面。

类型核心课程
模块基础语言
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材料10 节 · 1 段代码

本节解决什么问题

价格从 10 元涨到 11 元，与从 100 元涨到 101 元，谁表现更好？只比较价格变化额没有意义；我们需要把不同价格、不同期限、不同现金分配转成同一尺度。收益率就是量化投资的第一种语言，后面的波动率、回归、因子收益和组合净值都建立在它上面。

前置知识与学习目标

只需要会四则运算、百分比和乘方。学完后你应该能：

  • 区分简单收益率、对数收益率、累计收益和年化收益；
  • 解释为什么逐期收益不能随意相加；
  • 区分名义收益、实际收益、无风险超额收益和基准主动收益；
  • 在 A 股价格、分红、复权和停牌数据中选择一致口径。

直觉与手算

假设一只股票从 100 元涨到 110 元，第一期收益是 10/100=10%。第二期从 110 元跌到 99 元，收益是 -11/110=-10%。两期一个加 10%、一个减 10%，但最终财富是 99 元，累计收益为 -1%：

原因是第二个 10% 作用在新的 110 元基数上。要从亏损 10% 回到原点，需要上涨 1/0.9-1=11.11%。亏损越深，回本所需涨幅越快上升。

再看通胀。名义上赚 10%，若同期物价上涨 3%，购买力实际增长不是简单的 7%，而是：

简单相减是小幅变化下的近似，精确计算应比较两个增长因子。

定义与公式

简单收益率

若 P(t-1) 是期初价格，P(t) 是期末价格，D(t) 是期间现金分红：

R 是每期比例，没有货币单位。它有一个关键优点：同一期组合收益可以按期初权重加权。缺点是跨期不能简单相加。

对数收益率

对数收益可以跨期相加，因为对数把连乘变成加法。但不同资产组成组合时，不能把各资产对数收益按权重相加来冒充组合简单收益。简单收益最低为 -100%，对数收益在完全损失时趋向负无穷。

累计收益

T 期累计收益是财富增长因子的连乘：

如果每期都投入同一笔财富且不追加、不取出资金，这个式子直接给出净值变化。存在外部现金流时，应改用时间加权收益或资金加权收益，并说明评价目标。

年化收益

若 T 个观测期的累计收益为 R(cum)，一年有 A 个同频观测期：

月频 A=12；日频常近似用 252，但应以实际交易日历为准。三天赚 1% 年化成极高数字，并不意味着可以维持一年，所以短样本年化主要是尺度换算，不是预测。

名义、实际与超额收益

名义收益直接以货币计价；实际收益扣除通胀：

π 是同期限通胀率。相对无风险资产的超额收益为 R-R(f)；相对投资基准的主动收益为 R-R(b)。两者回答不同问题：前者衡量承担风险的补偿，后者衡量偏离基准的结果。

Python 最小实验

下面用确定性数据验证复利、对数可加和实际收益。所有数组元素都是每期小数收益率。

PYTHON 可复现实验 
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import numpy as np

returns = np.array([0.10, -0.10])
wealth = np.cumprod(1 + returns)
cumulative = wealth[-1] - 1
log_cumulative = np.log1p(returns).sum()

assert np.isclose(cumulative, -0.01)
assert np.isclose(np.expm1(log_cumulative), cumulative)

nominal = 0.10
inflation = 0.03
real = (1 + nominal) / (1 + inflation) - 1
print(wealth, cumulative, real)

预期净值增长因子为 1.10、0.99，累计收益 -0.01，实际收益约 0.06796。

A 股实现注意事项

  1. 复权口径。 不复权收盘价在除权除息日会机械下跌；若研究总回报，应使用可靠的复权因子或把分红送转单独加入。已经复权的价格不能再加分红。
  2. 前复权与后复权。 两者改变的是价格展示基准，正确构造的相邻收益应一致。供应商可能事后修订复权因子，严格研究需要保存点时版本。
  3. 停牌。 停牌日没有可成交价格。把缺失价格向前填充可用于持仓净值记账，但不能假设当日可以按旧价交易；信号计算和成交模拟要分别处理。
  4. 涨跌停与 T+1。 收盘到收盘收益是估值结果，不代表你能在收盘价买入。A 股普通股票买入后下一交易日才能卖出，涨停买不到、跌停卖不出会改变实际持有期。
  5. 指数与个股口径。 价格指数常不含现金分红，全收益指数包含再投资。比较策略与基准时，二者必须使用相同分红和税费口径。
  6. 无风险利率。 日度研究不能直接从年化利率除以 365 后与交易日收益混用；应先统一计息期限，再映射到实际持有天数。

常见错误与边界

  • 把 +20% 和 -20% 相加为零，忽略复利后实际为 -4%。
  • 用收益率算术平均代表长期财富增长；波动越大，两者差异通常越大。
  • 把日收益乘 252 当成年化复合收益；正确的已实现年化基于累计增长因子。
  • 把对数收益按股票权重相加计算组合净值；组合先用简单收益加权，再按时间复合。
  • 在不同币种、不同期限或含分红口径不同的数据之间直接比较。
  • 把年化结果理解成保证收益。收益率是历史样本统计量，不是承诺。

简单收益也有边界：当存在追加资金、赎回、融资或杠杆重置时，净值路径需要明确现金流和资产负债表；不能只靠一列资产价格恢复真实投资者收益。

原书与论文

原书第 1 章（PDF 文件页 7–26）建立因子投资和收益—风险的基本框架；附录 A（381–388）可用于回看统计符号。本讲先补足原书默认读者已经掌握的收益率口径。

进一步阅读可从 William F. Sharpe（1964）CAPM 原文开始。此时不必推导模型，只需观察论文为什么先把收益与风险放到同一均衡语言中：DOI 10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x。

练习

  1. 100 元先跌 30% 再涨 30%，最终多少钱？回到 100 元需要从 70 元上涨多少？
  2. 月收益依次为 2%、-1%、3%，计算累计收益和三个月年化收益。解释为什么年化值不宜外推。
  3. 某策略年收益 12%，基准 8%，无风险利率 2%，通胀 3%。分别计算主动收益、无风险超额收益和实际收益。
  4. 找一只发生过现金分红的 A 股，比较不复权、前复权价格在除息日前后的简单收益。哪一种更接近股东总回报？

校验：第 1 题最终 91 元；从 70 元回本需要约 42.86%。第 3 题主动收益 4%，无风险超额收益 10%，实际收益约 8.74%。

小结与下一步

收益率的核心不是公式复杂，而是口径一致：资产、现金流、期限、复权、基准和可交易时点必须同时定义。简单收益用于横截面组合，对数收益便于时间相加，累计收益依赖复利，年化只是尺度变换。

下一讲将用收益分布定义风险，并说明协方差为什么使“把股票放在一起”不等于简单平均风险。

Quant
#量化入门 #因子投资
因子投资-01-收益率复利与超额收益
https://www.polarishaw.top/2026/07/17/因子投资-01-收益率复利与超额收益/
作者
Polaris
发布于
2026年7月17日
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