因子投资-06-CAPM-Alpha-Beta与因子

QUANT RESEARCH NOTE / LESSON 06

为什么有些资产平均收益更高？CAPM 给出一个最简答案：只有不能通过持有市场组合分散掉的市场风险应获得风险补偿。它同时建立了 Beta、Alpha 和因子模型的基本语言，也是后续多因子研究的零号基准。

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模块研究方法

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本节解决什么问题

为什么有些资产平均收益更高？CAPM 给出一个最简答案：只有不能通过持有市场组合分散掉的市场风险应获得风险补偿。它同时建立了 Beta、Alpha 和因子模型的基本语言，也是后续多因子研究的零号基准。

前置知识与学习目标

需要第 04 讲 OLS 和第 05 讲组合、基准。学完后你应该能：

• 写出 CAPM 期望收益关系和时序回归；
• 用协方差解释 Beta；
• 区分因子值、因子暴露、因子收益和风险溢价；
• 说明 Alpha 是“给定模型的定价误差”，不是天然利润；
• 识别市场代理、无风险利率和交易约束对 A 股检验的影响。

直觉与手算

先用一个类比建立方向：一顿饭有蛋白质、脂肪和碳水等营养暴露，身体对每种营养的“价格”不同；一只股票也可以有市场、价值、动量等风险暴露，市场给每类暴露某种预期补偿。

类比到此为止。营养成分通常是可测物质，而金融因子是模型对象：定义依赖组合或回归，暴露会变化，因子收益可正可负，风险溢价也不是保证支付。不能因为给一个股票贴上“价值”标签，就认为发现了因果成分。

假设年无风险收益 2%，市场预期收益 8%，一只股票 Beta=1.5。CAPM 给出的预期收益为：

$$2\%+1.5\times(8\%-2\%)=11\%$$

Beta 较高意味着它对市场超额收益更敏感，不代表收益一定为正。若市场超额收益当年为 -10%，线性部分预计贡献 -15%。

定义与公式

Beta

资产 i 的市场 Beta：

$$\beta_i=Cov(R_i-R_f,R_m-R_f)/Var(R_m-R_f)$$

它是资产超额收益对市场超额收益的一元回归斜率。Beta=1.5 的单位含义是市场超额收益变动 1 个百分点，资产条件平均超额收益同向变动约 1.5 个百分点。

CAPM 的期望收益

在均值—方差投资者、同质预期、无摩擦、可按无风险利率借贷等理想条件下，所有投资者持有无风险资产与同一市场组合的混合。市场组合有效时：

$$E[R_i]-R_f=\beta_i(E[R_m]-R_f)$$

横轴 Beta、纵轴预期收益形成证券市场线。模型说预期收益只由市场 Beta 定价；特质风险可以分散，不应有独立溢价。

时序回归与 Alpha

实证中通常回归实现收益：

$$R_{i,t}-R_{f,t}=\alpha_i+ \beta_i(R_{m,t}-R_{f,t})+\varepsilon_{i,t}$$

若 CAPM 完全描述平均收益，Alpha 应为零。Alpha 为正表示“相对这个市场代理、样本、频率和误差模型”的未解释平均收益。换市场指数、加入因子或改变成本后，Alpha 可能变化。

四个容易混淆的“因子”

1. 因子值 factor value： 每只股票在某日的特征，如账面市值比，维度 N×1。
2. 因子暴露 factor exposure： 资产或组合对某因子收益的敏感度 β，维度 K×1。
3. 因子收益 factor return： 某期模拟组合或截面回归得到的实现回报 f(k,t)，维度 K×T。
4. 风险溢价 risk premium： 因子暴露对应的条件期望补偿 λ(k)，维度 K×1。

“高因子值”不等于“高回归暴露”；“本月因子收益为正”也不等于长期风险溢价已被证明。

Python 最小实验

下面直接从协方差估计 Beta，并验证它等于含截距 OLS 斜率。

PYTHON 可复现实验

import numpy as np

market = np.array([-0.04, 0.02, 0.01, 0.05, -0.02, 0.03])
noise = np.array([0.001, -0.002, 0.001, 0.000, -0.001, 0.001])
asset = 0.002 + 1.5 * market + noise

beta_cov = np.cov(asset, market, ddof=1)[0, 1] / np.var(market, ddof=1)
X = np.column_stack([np.ones_like(market), market])
alpha_hat, beta_ols = np.linalg.lstsq(X, asset, rcond=None)[0]

assert np.isclose(beta_cov, beta_ols)
assert 1.4 < beta_ols < 1.6
print(alpha_hat, beta_ols)

这里 market 和 asset 已被视为超额收益。若它们是原始收益，应先减去同期限 R(f)。

A 股实现注意事项

1. 市场组合不可直接观察。 沪深 300 只覆盖大盘股，全市场价值加权更接近股票市场，但仍遗漏非上市资本、人力资本和海外资产。Beta 依赖代理选择。
2. 无风险利率口径。 需要币种、期限和频率一致；使用国债、同业存单或存款利率会对应不同含义。
3. 市场分割。 涨跌停、T+1、融资融券范围、外资额度和卖空限制违背无摩擦与可自由借贷假设。
4. Beta 时变。 公司杠杆、行业和市场状态改变会使固定窗口估计过时。应报告滚动 Beta、窗口和缩减方法。
5. 非同步交易。 小盘股停牌或低频成交会使个股与市场收益时间错位，普通日回归可能低估 Beta。
6. 极端时期。 牛熊转换、2015 年市场异常波动等阶段可能改变线性关系；全样本一个 Beta 会掩盖状态差异。

常见错误与边界

• 把 Beta 当相关系数；Beta 还包含两者波动率比例，可以大于 1。
• 用价格水平而非收益回归，得到趋势伪关系。
• 忘记减无风险利率，或左右两边用不同频率。
• 看到正 Alpha 就宣称经理有技能，忽略遗漏因子、选择偏差和成本。
• 先用全样本估 Beta 再构造历史策略，泄露未来暴露。
• 把低 Beta 等同于低损失；跳跃、流动性和特质风险仍存在。

CAPM 可以被经验数据拒绝，但它仍有价值：它提供最简可证伪基准。一个新因子若连市场暴露调整后的增量解释都没有，就更难声称独立贡献。

原书与论文

原书第 1 章（PDF 文件页 7–26）介绍因子投资框架，第 2 章（27–96）进入因子模型和检验。本讲对应从单因子基准到实证回归的入口。

Sharpe（1964）是 CAPM 的核心原始文献：DOI 10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x。阅读时把理论中的“市场组合”与实证中的“市场指数代理”分别标记，避免偷换对象。

练习

1. R(f)=3%、E[R(m)]=9%，分别计算 Beta 为 0、0.5、1、1.5 的 CAPM 预期收益。
2. 两只股票相关系数相同，但个股波动率分别是市场的 0.5 倍和 2 倍，它们的 Beta 如何不同？
3. 用沪深 300 和全市场价值加权收益分别估同一小盘股 Beta，解释差异来源。
4. 给出“价值因子值高，但 HML 回归暴露低”的可能原因。
5. 一个策略 Alpha 月均 0.3%、t=2.2，加入动量因子后变为 0.05%、t=0.4。原 Alpha 更可能是什么？

校验：第 1 题依次为 3%、6%、9%、12%。

小结与下一步

CAPM 把预期超额收益压缩为市场 Beta 乘市场风险溢价。Beta 是协方差尺度下的敏感度，Alpha 是给定模型的截距。因子值、暴露、实现收益和预期溢价属于不同维度，必须分开。

下一讲放松“只有一个市场因子”，进入 APT 与多因子模型，并讨论异象究竟是风险补偿还是错误定价。